Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣ ﹣ax（a∈R）．
（1）當a= 時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在[﹣1，1]上為單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a= 時，函數f（x）= ﹣ ﹣ x，

∴f′（x）= + ﹣ = = ，

令f′（x）=0，解得x=0．或x=ln2，

當f′（x）＞0時，即x＜0，或x＞ln2，故函數f（x）單調遞增，

當f′（x）＜0時，即0＜x＜ln2，故函數f（x）單調遞減，

所以函數f（x）單調增區間為（﹣∞．0）∪（ln2，+∞），單調減區間為（0，ln2）

（2）解：∵f′（x）= + ﹣a，

①若函數f（x）在[﹣1，1]上為單調減函數，

∴f′（x）= + ﹣a≤0，在[﹣1，1]恒成立，

即a≥ +

令g（x）= + ，

則g′（x）= ﹣ = ，

當x∈[﹣1，ln ），g（x）單調遞減，x∈（ln ，1]單調遞增，

又因為g（1）= ，g（﹣1）= ，

g（1）＜g（﹣1），

故g（x）max=g（﹣1）= ，

故a≥ ，

②若函數f（x）在[﹣1，1]上為單調增函數，

∴f′（x）= + ﹣a＞0，在[﹣1，1]恒成立，

即a＜ +

令h（x）= + ，

則h′（x）= ﹣ = ，

當x∈[﹣1，ln ），g（x）單調遞減，x∈（ln ，1]單調遞增，

故當x=ln ，h（x）有最小值，最小值為h（x）min=h（ln ）=

故a≤ ，

綜上所述實數a的取值范圍為（﹣∞， ]∪[ ，+∞）

【解析】（1）先求導，再根據導數求出函數的單調區間；（2）需要分兩類，函數f（x）在[﹣1，1]上為單調減函數和函數f（x）在[﹣1，1]上為單調增函數，然后分離參數，根據函數的最值，求出范圍即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．