Question

（本小題滿分18分）已知函數，

（Ⅰ）若，求函數的極值；

（Ⅱ）設函數，求函數的單調區間；

(Ⅲ)若在（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在處取得極小值1；（Ⅱ）時，在上單調遞減，在上單調遞增；  時，函數在上單調遞增。

(Ⅲ) 或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）的定義域為，

當時，，

		1
	—	0	+
		極小

 

所以在處取得極小值1.

（Ⅱ），

    

①當時，即時，在上，在上，

所以在上單調遞減，在上單調遞增；  

②當，即時，在上，

所以函數在上單調遞增.       

（III）在上存在一點，使得成立，即 在上存在一點，使得，

即函數在上的最小值小于零.

由（Ⅱ）可知

①當，即時，在上單調遞減，

所以的最小值為，由可得，

因為，所以；

②當，即時， 在上單調遞增，

所以的最小值為，由可得；

③當，即時， 可得的最小值為，

因為，所以

故   

此時，不成立.   

綜上討論可得所求的取值范圍是：或.

考點：利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值。

點評：①極值點的導數為0，但導數為0的點不定是極值點。②利用導數研究函數的單調性時，一定要先求函數的定義域。③注意恒成立問題與存在性問題的區別。