Question

（12分） 已知函數.

（1）求的定義域；

（2）在函數的圖像上是否存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于軸；

（3）當滿足什么關系時，在上恒取正值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）函數的圖像上不存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于軸（3）

【解析】

試題分析：（1）由得， 由已知，故，

即函數的定義域為.                                          ……4分

（2）設 

則 ，

故，

，

即.在上為增函數.

假設函數的圖像上存在不同的兩點，使直線平行于軸，即，這與是增函數矛盾.故函數的圖像上不存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于軸.                                            ……8分

（3）由（2）知，在是增函數，

在上也是增函數.

當時，.

只需，即，即，

時，在上恒取正值.                              ……12分

考點：本小題主要考查函數定義域的求解、函數性質的應用和恒成立問題的求解，考查學生對問題的轉化能力和運算求解能力.

點評：定義域和值域必須寫成集合或區間的形式，恒成立問題一般轉化成最值問題解決.