(Ⅰ)(20分)在復數范圍內解方程(i為虛數單位)
(Ⅱ)設z是虛數,ω=z+是實數,且-1<ω<2
(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍;(10分)
(2)設u=,求證:u為純虛數;(5分)
(3)求ω-u2的最小值,(5分)
(Ⅰ)原方程化簡為,
設z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±
,
∴原方程的解是z=-±
i.
(Ⅱ)(1)設z=a+bi(a、b∈R,b≠0),
則ω=a+bi+=(a+
)+(b-
)i
∵ω是實數,∴,又∵b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1
∵ω=2a,-1<ω<2,∴z的實部的取值范圍是(-,1)
(2)證明:u==
=
=
由(1)知a2+b2=1,∴u=-I,又∵a∈(-
,1),b≠0,
∴u為純虛數
(3)解:ω-u2=2a+=2a+
=2a-
=2a-1+=2[(a+1)+
]-3
∵a∈(-,1),∴a+1>0,
∴(a+1)+ ≥2(當a+1=
,即a=0時,上式取等號.)
∴ω-u2≥2×2-3=1,∴ω-u2的最小值為1.
【解析】略
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