Question

某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關，現采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統計了他們某月的日平均生產件數，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產件數分為5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

P（x2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

（I）從樣本中日平均生產件數不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；
（II）規定日平均生產件數不少于80件者為“生產能手”，請你根據已知條件完成列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”？附：（注：此公式也可以寫成k²=）

Answer 1

【答案】分析：（I）由分層抽樣的特點可得樣本中有25周歲以上、下組工人人數，再由所對應的頻率可得樣本中日平均生產件數不足60件的工人中，25周歲以上、下組工人的人數分別為3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（II）由頻率分布直方圖可得“25周歲以上組”中的生產能手的人數，以及“25周歲以下組”中的生產能手的人數，據此可得2×2列聯表，可得k²≈1.79，由1.79＜2.706，可得結論．
解答：解：（I）由已知可得，樣本中有25周歲以上組工人100×=60名，
25周歲以下組工人100×=40名，
所以樣本中日平均生產件數不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05=3（人），
25周歲以下組工人有40×0.05=2（人），
故從中隨機抽取2名工人所有可能的結果共=10種，
其中至少1名“25周歲以下組”工人的結果共+=7種，
故所求的概率為：；
（II）由頻率分布直方圖可知：在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產能手有60×0.25=15（人），
“25周歲以下組”中的生產能手有40×0.375=15（人），據此可得2×2列聯表如下：

	生產能手	非生產能手	合計
25周歲以上組	15	45	60
25周歲以下組	15	25	40
合計	30	70	100

所以可得==≈1.79，
因為1.79＜2.706，所以沒有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”．
點評：本題考查獨立性檢驗，涉及頻率分布直方圖，以及古典概型的概率公式，屬中檔題．