Question

已知函數f（x）（x∈R）的最小正周期為2，且對任意實數x，f（2-x）=f（2+x），且[a，b]（a＜b）是f（x）的一個單調區間．
（1）求證：b-a≤1；
（2）已知區間[0，1]為f（x）的一個單調區間，且對任意x＜0，都有f（2^x）＞f（2），解關于實數x的不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）．

Answer 1

分析：（1）利用反證法證明．先假設b-a＞1，則b＞a+1，對a取特殊值，取a=0，結合條件f（2-x）=f（2+x），∴f（4-b）=f（b），又函數f（x）（x∈R）的最小正周期為2，得出f（2-b）=f（b），而區間[0，b]是f（x）的一個單調區間，這與f（2-b）=f（b）矛盾，故假設不成立，從而結論得到證明；
（2）先由f（2^x）＞f（2）=f（0），得出區間[0，1]為f（x）的一個單調增區間，再利用對稱性及周期性得出函數f（x）是偶函數，從而得到區間[1，2]為f（x）的一個單調減區間，再化簡不等式f（-10.5）＞f（x²+6x），最后在一個周期 長的區間[0，2]上考慮此不等式的解根據函數的周期性得不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）在R上的解即可．

解答：證明：（1）假設b-a＞1，則b＞a+1，
不妨取特殊值a=0，則b＞1，
∵f（2-x）=f（2+x），∴f（4-b）=f（b），
又函數f（x）（x∈R）的最小正周期為2，
∴f（4-b）=f（2-b）
∴f（2-b）=f（b）
而區間[0，b]是f（x）的一個單調區間，⇒f（2-b）≠f（b），
這與f（2-b）=f（b）矛盾，故假設不成立，
∴b-a≤1；
解：（2）∵對任意x＜0，都有f（2^x）＞f（2）=f（0），
其中0＜2^x＜1，
∴區間[0，1]為f（x）的一個單調增區間，
∵函數f（x）（x∈R）的最小正周期為2，
∴f（2-x）=f（-x），f（x）=f（2+x），
且對任意實數x，f（2-x）=f（2+x），
∴f（-x）=f（x），函數f（x）是偶函數，
∵區間[0，1]為f（x）的一個單調增區間，根據偶函數的對稱性得：
區間[-1，0]為f（x）的一個單調減區間，
根據函數的周期性得：區間[1，2]為f（x）的一個單調減區間，
又不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）可化成：
f（1.5）＞f（x²+6x）．
在一個周期長的區間[0，2）上考慮此不等式的解，有：
0≤x²+6x≤

1

2

或

3

2

≤x²+6x＜2，
解之得：

-6- 38

2

≤x≤-6或0≤x≤

-6+ 38

2

；或-3-

11

＜x≤

-6- 42

2

或

-6+ 42

2

≤x＜-3+

11

．
根據函數的周期性得：
不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）在R上的解是：

-6- 38

2

+2k≤x≤-6+2k或+2k≤x≤

-6+ 38

2

+2k；或-3-

11

+2k＜x≤

-6- 42

2

+2k或

-6+ 42

2

+2k≤x＜-3+

11

+2k．k∈Z．

點評：本小題主要考查函數的周期性、函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于難題．