Question

（本小題滿分13分）

如圖，橢圓的頂點為，焦點為，.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

 (Ⅱ)設n 為過原點的直線，是與n垂直相交于P點，與橢圓相交于A, B兩點的直線，.是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；并說出；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

(Ⅱ) 使成立的直線不存在.

【解析】本題主要考查圓錐曲線，以及運用代數的思想來解決橢圓和直線之間的一些幾何問題，讓考生充分體會解析幾何的本質，也考查考生做題的仔細程度．

(Ⅰ)由知a²+b²=7,                ①

由知a=2c,           ②

又b²=a²-c²                                     ③

由 ①，②，③解得a²=4,b²=3,

故橢圓C的方程為

 (Ⅱ) 設A,B兩點的坐標分別為

假設使成立的直線l存在，

(i)  當l不垂直于x軸時，設l的方程為,

由l與n垂直相交于P點且得

，即.

由得

將代入橢圓方程，得

 ，

由求根公式可得                  ④

                                   ⑤

 

 

將④，⑤代入上式并化簡得

           ⑥

將代入⑥并化簡得，矛盾.

即此時直線不存在.

（ii）當垂直于軸時，滿足的直線的方程為，

則A,B兩點的坐標為或

當時，

當時，

∴ 此時直線也不存在.

綜上可知，使成立的直線不存在.

點評：本題主要對圓錐曲線中的橢圓進行了考查，問題的設置上比較簡單，但第二問運算量大，學生不易得分，是一道即考查學生基礎知識又考查運算，分析能力的題．