Question

【題目】如圖，四邊形是梯形，四邊形是矩形，且平面平面，，，是的中點.

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接,交于,連接,在中利用中位線的性質求證即可；

（2）由題易證得兩兩垂直,則以點為原點,分別以的方向為軸、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標系,分別求得平面與平面的法向量,利用數量積求解即可.

（1）證明:連接,交于,連接,如圖所示,

因為四邊形是矩形,所以是的中點,

由于是的中點,

所以,

由于平面,平面,

所以平面.

（2）因為平面平面,平面平面,,

所以平面,

可知兩兩垂直,

以點為原點,分別以的方向為軸、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標系,如圖所示,

因為,則,,

所以,,

設平面的法向量為,

則,所以,

取,則,

依題意,得平面的一個法向量為,

,

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.