Question

【題目】如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四邊形ABEF是矩形，將矩形ABEF沿AB折起到四邊形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M為AF1的中點，如圖2.

(1)求證：BE1⊥DC；

(2)求證：DM∥平面BCE1；

(3)判斷直線CD與ME1的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析.（3）相交，理由詳見解析

【解析】試題分析：（1）由面面垂直性質定理得BE1⊥平面ABCD，即得BE1⊥DC；（2）根據AM∥BE1，AD∥BC，可根據線面平行判定定理得線面平行，再根據面面平行判定定理得面面平行，即得結論（3）取BC的中點P，CE1的中點Q，易得MQ∥CD,因此相交

試題解析：(1)證明　因為四邊形ABE1F1為矩形，

所以BE1⊥AB.

因為平面ABCD⊥平面ABE1F1，

且平面ABCD∩平面ABE1F1＝AB，

BE1平面ABE1F1，

所以BE1⊥平面ABCD.

因為DC平面ABCD，

所以BE1⊥DC.

(2)證明　因為四邊形ABE1F1為矩形，

所以AM∥BE1.

因為AD∥BC，AD∩AM＝A，BC∩BE1＝B，

AD平面ADM，AM平面ADM，

BC平面BCE1，BE1平面BCE1，

所以平面ADM∥平面BCE1.

因為DM平面ADM，

所以DM∥平面BCE1.

(3)解　直線CD與ME1相交，理由如下：

取BC的中點P，CE1的中點Q，連接AP，PQ，QM，

所以PQ∥BE1，且PQ＝BE1.

在矩形ABE1F1中，M為AF1的中點，

所以AM∥BE1，且AM＝BE1，

所以PQ∥AM，且PQ＝AM.

所以四邊形APQM為平行四邊形，

所以MQ∥AP，MQ＝AP.

因為四邊形ABCD為梯形，P為BC的中點，BC＝2AD，

所以AD∥PC，AD＝PC，

所以四邊形ADCP為平行四邊形．

所以CD∥AP且CD＝AP.

所以CD∥MQ且CD＝MQ.

所以四邊形CDMQ是平行四邊形．

所以DM∥CQ，即DM∥CE1.

因為DM≠CE1，

所以四邊形DME1C是以DM，CE1為底邊的梯形，

所以直線CD與ME1相交．

點睛:立體幾何中折疊問題,要注重折疊前后垂直關系的變化,不變的垂直關系是解決問題的關鍵條件.