Question

【題目】如圖，橢圓C1： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于C1的長半軸長．
（Ⅰ）求C1 ， C2的方程；
（Ⅱ）設C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A、B，直線MA，MB分別與C1相交于D，E．
（i）證明：MD⊥ME；
（ii）記△MAB，△MDE的面積分別是S1 ， S2 ． 問：是否存在直線l，使得 = ？請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題得e= ，從而a=2b，又2 =a，解得a=2，b=1， 故C1 ， C2的方程分別為 ，y=x2﹣1．
（Ⅱ）（i）由題得，直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為y=kx，
由 得x2﹣kx﹣1=0．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則x1 ， x2是上述方程的兩個實根，
于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又點M的坐標為（0，﹣1），
所以kMAkMB= = = = =﹣1．
故MA⊥MB，即MD⊥ME．
（ii）設直線MA的斜率為k1 ， 則直線MA的方程為y=k1x﹣1．
由 ，解得 或 ．
則點A的坐標為（k1 ， k12﹣1）．
又直線MB的斜率為﹣ ，同理可得點B的坐標為（﹣ ， ﹣1）．
于是s1= |MA||MB|= |k1| |﹣ |= ．
由 得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．
解得 或， ，則點D的坐標為（ ， ）．
又直線ME的斜率為﹣ ．同理可得點E的坐標為（ ， ）．
于是s2= |MD||ME|= ．
故 = ，解得k12=4或k12= ．
又由點A，B的坐標得，k= =k1﹣ ．所以k=± ．
故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程為y= x和y=﹣ x
【解析】（Ⅰ）先利用離心率得到一個關于參數的方程，再利用x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于C1的長半軸長得另一個方程，兩個方程聯立即可求出參數進而求出C1 ， C2的方程；（Ⅱ）（i）把直線l的方程與拋物線方程聯立可得關于點A、B坐標的等量關系，再代入求出kMAkMB=﹣1，即可證明：MD⊥ME；（ii）先把直線MA的方程與拋物線方程聯立可得點A的坐標，再利用弦長公式求出|MA|，同樣的方法求出|MB|進而求出S1 ， 同理可求S2 ． 再代入已知就可知道是否存在直線l滿足題中條件了．