Question

在數列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且滿足關系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出數列|a_n|的通項公式并用數學歸納法證明之；
（2）求證：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由原遞推式得到，再寫出前幾項，從而猜想數列|a_n|的通項公式，進而利用數學歸納法證明．
（2）利用（1）的結論，作差進行比較，故可得證．
解答：解：（1）由原遞推式得到，，=
猜想得到…（3分）
下面用數學歸納法證明
1當n=1時   a₁=t-1   滿足條件
2假設當n=k時，
則，∴，∴
即當n=k+1時，原命題也成立．
由1、2知…（7分）
（2）==
而ntⁿ-（t^n-1+t^n-2+…+t+1）=（tⁿ-t^n-1）+（tⁿ-t^n-2）+…+（tⁿ-t）+（tⁿ-1）=t^n-1（t-1）+t^n-2（t²-1）+t^n-3（t³-1）+…+t（t^n-1-1）+（tⁿ-1）=
故t＞0，且t≠1時有a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n…（13分）
點評：本題考查數列的遞推公式，用數學歸納法證明等式成立．證明當n=k+1時命題也成立，是解題的難點．