Question

【題目】已知拋物線方程為x2=2py（p＞0），其焦點為F，點O為坐標原點，過焦點F作斜率為k（k≠0）的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線的兩條切線，設兩條切線交于點M．
（1）求 ；
（2）設直線MF與拋物線交于C，D兩點，且四邊形ACBD的面積為 ，求直線AB的斜率k．

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線AB方程為 ，

聯立直線AB與拋物線方程

，得x2﹣2pkx﹣p2=0，

則x1+x2=2pk，x1x2=﹣p2，

可得 =x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+ ）（kx2+ ）

=（1+k2）x1x2+ + （x1+x2）

=（1+k2）（﹣p2）+ + 2pk=﹣ p2

（2）解：由x2=2py，知 ，

可得曲線在A，B兩點處的切線的斜率分別為 ，

即有AM的方程為 ，BM的方程為 ，

解得交點 ，

則 ，知直線MF與AB相互垂直．

由弦長公式知，|AB|=

= =2p（1+k2），

用 代k得， ，

四邊形ACBD的面積 ，

依題意，得 的最小值為 ，

根據 的圖象和性質得，k2=3或 ，

即 或

【解析】（1）設出直線AB的方程，代入拋物線的方程，運用韋達定理和點滿足直線方程，由向量的數量積的坐標表示，化簡即可得到所求值；（2）求得切線的斜率和切線的方程，運用弦長公式，可得|AB|，|CD|，求得四邊形ABCD的面積，運用對勾函數的性質，解方程可得k的值．