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【題目】已知函數，.

（1）函數在點處的切線的斜率為2，求的值；

（2）討論函數的單調性；

（3）若函數有兩個不同極值點為、，證明：.

【答案】（1）；（2）當時，在單調遞增；當時，在，單調遞增，在單調遞減；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出導函數，利用導數的幾何意義即可求解.

（2）令，化簡，判別式，討論的正負，從而確定的正負，利用導數與函數單調性的關系即可求解.

（3）由（2）可知，，，由，，求出，利用換元法令，將不等式轉化為，不妨設，利用導數證出函數在單調遞增，由即可證出.

（1），，∴

（2）令即，

當時，，，在單調遞增

當時，，，，

，，

在，單調遞增

在單調遞減.

（3）由（2）可知，，，

，

令

則，只需證明

，（只需證明即可）

，

∴，在單調遞增

，得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨著新高考改革的不斷深入，高中學生生涯規劃越來越受到社會的關注.一些高中已經開始嘗試開設學生生涯規劃選修課程，并取得了一定的成果.如表為某高中為了調查學生成績與選修生涯規劃課程的關系，隨機抽取50名學生的統計數據.

成績優秀

成績不夠優秀

總計

選修生涯規劃課

15

10

25

不選修生涯規劃課

6

19

25

總計

21

29

50

（1）根據列聯表運用獨立性檢驗的思想方法能否有99%的把握認為“學生的成績是否優秀與選修生涯規劃課有關”，并說明理由；

（2）現用分層抽樣的方法在選修生涯規劃課的成績優秀和成績不夠優秀的學生中隨機抽取5名學生作為代表，從5名學生代表中再任選2名學生繼續調查，求這2名學生成績至少有1人優秀的概率.

參考附表：

P（K2≥k）

0.100

0.050

0.010

0.001

k

2.706

3.841

6.635

10.828

參考公式，其中n＝a+b+c+d.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設數列{an}滿足：a1＝1，且當n∈N*時，an3+an2(1﹣an+1)+1＝an+1．

（1）求a2，a3的值；

（2）比較an與an+1的大小，并證明你的結論．

（3）若bn＝(1)，其中n∈N*，證明：0＜b1+b2+……+bn＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】生男生女都一樣，女兒也是傳后人.由于某些地區仍然存在封建傳統思想，頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿，現隨機抽取某地200戶家庭進行調查統計.這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為0.5，生二孩的頻率為0.525，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數為60.

（1）完成下列列聯表，并判斷能否有95%的把握認為是否生二孩與頭胎的男女情況有關；

生二孩

不生二孩

合計

頭胎為女孩

60

頭胎為男孩

合計

200

（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶，進一步了解情況，在抽取的7戶中再隨機抽取4戶，求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數的分布列及數學期望.

附：

0.15

0.05

0.01

0.001

2.072

3.841

6.635

10.828

（其中）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的右焦點為，短軸長為2，過定點的直線交橢圓于不同的兩點、（點在點，之間）.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求實數的取值范圍；

（3）若射線交橢圓于點（為原點），求面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知命題的展開式中，僅有第7項的二項式系數最大，則展開式中的常數項為495；命題隨機變量服從正態分布，且，則．現給出四個命題：①，②，③，④，其中真命題的是（ ）

A.①③B.①④C.②③D.②④

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）＝lnx﹣sinx+ax（a＞0）．

（1）若a＝1，求證：當x∈（1，）時，f（x）＜2x﹣1；

（2）若f（x）在（0，2π）上有且僅有1個極值點，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）求的極大值點；

（2）當，時，若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線與拋物線交于、兩點，是坐標原點，.

（1）求線段中點的軌跡的方程；

（2）設直線與曲線交于、兩點，，求的取值范圍.

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