Question

【題目】已知、是雙曲線的兩個頂點，點是雙曲線上異于、的一點，為坐標原點，射線交橢圓于點，設直線、、、的斜率分別為、、、.

（1）若雙曲線的漸近線方程是，且過點，求的方程；

（2）在（1）的條件下，如果，求的面積；

（3）試問：是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為；（3）定值為.

【解析】

（1）設雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程，求出的值，可求出雙曲線的方程；

（2）設點的坐標為，設直線的方程為，則，由點在雙曲線上得出，可得出，利用斜率公式以及條件可求出射線的方程，由此可得出點的縱坐標，由此計算出的面積；

（3）由題意得出，設點、，則，利用斜率公式得出，，由此可得出的值.

（1）由于雙曲線的漸近線方程為，可設雙曲線的方程為，

將點的坐標代入雙曲線的方程得，

因此，雙曲線的方程為；

（2）設射線所在直線的方程為，設點，則，

因為點在雙曲線上，所以，可得.

，.

所以，射線所在直線的方程為.

聯立直線的方程與橢圓的方程，解得，

所以，點的縱坐標為，因此，的面積為；

（3）設點、，

由于點在雙曲線上，則，得，

，，，

同理可得，因此，.