Question

【題目】已知函數， .

（1）若直線是曲線與曲線的公切線，求；

（2）設，若有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】試題分析：（1）設直線與切于點，與切于， 處的切線方程為. 處的切線方程為.根據

這兩條直線為同一條直線，可得關于和，解得和的值，從而可得結果；（2）， ，顯然在上為減函數，存在一個，使得，且時， ， 時， 為的極大值點，只需求恒成立即可得結果.

試題解析：對函數求導，得，對函數求導，得。

設直線與切于點，與切于.

則在點處的切線方程為： ，即.

在點處的切線方程為： ，即.

這兩條直線為同一條直線，所以有

由（1）有，代入（2）中，有

，則或.

當時，切線方程為，所以,

當時，切線方程為，所以.

（2）。求導： ，

顯然在上為減函數，存在一個，使得，

且時， ， 時， ，

所以為的極大值點。

由題意，則要求.

由，有，所以，

故.

令，且。

， 在上為增函數，又，

要求，則要求，又在上為增函數，

所以由，得。

綜上，