Question

在函數概念的發展過程中，德國數學家狄利克雷（Dirichlet，1805--1859）功不可沒．19世紀，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數”：y=f(x)=

1，x為有理數 0，x為無理數.

，這個函數后來被稱為狄利克雷函數．下面對此函數性質的描述中不正確的是（　　）

A．它是偶函數

B．它是周期函數，且沒有最小正周期

C．它沒有單調性

D．它有函數圖象

Answer 1

分析：A．B．通過分類討論和利用偶函數、周期函數的定義可判斷出其正誤；C．D．利用實數的稠密性及單調性的定義可以判斷出其正誤．

解答：解：A．若x為有理數，則-x也為有理數，∴f（-x）=f（x）=1；若x為無理數，則-x也為無理數，∴f（-x）=f（x）=0，故A正確；
B．若x是有理數，T是非零的有理數，則x+T仍是有理數，故f（x+T）=f（x）=1；設x是無理數，T是非零的有理數，則x+T是無理數，
因此f（x+T）=f（x）=0，由于沒有最小的正有理數，故沒有最小正周期，由上可知B是真命題；
C．由于實數的稠密性，任意兩個有理數之間都有無理數，兩個無理數之間也都有有理數，其函數值在1與0之間無間隙轉換，故它沒有單調性；
D．由于實數的稠密性，任意兩個有理數之間都有無理數，兩個無理數之間也都有有理數，故無法畫出它的圖象．
故選D．

點評：本題綜合考查了狄氏函數的奇偶性、周期性、單調性及圖象等性質，熟練掌握以上知識是解決問題的關鍵．