Question

已知函數，其中且m為常數．
（1）試判斷當時函數在區間上的單調性，并證明；
（2）設函數在處取得極值，求的值，并討論函數的單調性．

Answer 1

（1）在區間上為增函數，證明見解析；（2），在上單調遞減，在單調遞增．

試題分析：（1）首先求導函數，然后根據區間判斷的符號即可證明；（2）利用函數的極值點是導函數的零點通過建立方程可求得的值，然后再通過判斷的符號確定單調區間．
（1）當時，，求導數得：．
∵當時，，∴ ，
∴當時函數在區間上為增函數．
（2）求導數得：．
由是的極值點得，∴．
于是，定義域為，，
顯然函數在上單調遞增，且，
因此當時，；時，，
所以在上單調遞減，在單調遞增．