Question

已知直線的方向向量為及定點，動點滿足，，，其中點N在直線l上．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同動點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，若α+β=θ為定值（0＜θ＜π），試問直線AB是否恒過定點，若AB恒過定點，請求出該定點的坐標，若AB不恒過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：|MF|=|MN|，由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，由此能求出軌跡方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得x₁≠x₂，所以AB的斜率存在，設其方程為y=kx+b，韋達定理知，當時，直線AB恒過定點（-8，0）；當時，直線AB恒過定點．
解答：解：（1）由題意知：|MF|=|MN|，
由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，其中F（2，0）為焦點，
x=-2為準線，
所以軌跡方程為y²=8x；…（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁，x₂≠0，
所以AB的斜率存在，設其方程為y=kx+b，
顯然，
將y=kx+b與y²=8x消去x，得ky²-8y+8b=0，由韋達定理知①…（6分）
（i）當時，即時，
tanα•tanβ=1，
所以，，
所以y₁y₂=64，由①知：，所以b=8k．
因此直線AB的方程可表示為y=kx+8k，
即k（x+8）-y=0所以直線AB恒過定點（-8，0）…（8分）
（ii）當時，由α+β=θ，
得tanθ=tan（α+β）==，…（10分）
將①式代入上式整理化簡可得：，
所以，
此時，直線AB的方程可表示為y=kx+，
即
所以直線AB恒過定點
當時，AB恒過定點（-8，0），當時，
AB恒過定點．…（12分）
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．