Question

已知拋物線C頂點在坐標原點，準線方程為x=-1
（Ⅰ）求拋物線C的方程．
（Ⅱ）若直線經過拋物線C的焦點，與拋物線交于A，B兩點，且線段AB中點的橫坐標為2，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線的定義即可得出；
（II）設直線AB的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線的方程聯立可得根與系數的關系，再利用中點坐標公式即可得出直線的斜率．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C頂點在坐標原點，準線方程為x=-1，
∴可設拋物線C的方程為：y²=2px（p＞0），
由直線方程可得-

p

2

=-1，解得p=2，
∴拋物線C的方程為：y²=4x．
（Ⅱ）由（1）可知拋物線C的焦點坐標為（1，0），
設直線AB的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y2=4x y=k(x-1)

，消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x1+x2=

2k2+4

k2

=2×2，解得k=±

2

，
所求直線AB的方程為：y=

2

x-

2

或y=-

2

x+

2

．

點評：本題考查了拋物線的定義、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、中點坐標公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．