Question

已知等差數列{a_n}的各項均為正數，其前n項和為S_n，首項a₁=1．
（Ⅰ）若，求S₅；
（Ⅱ）若數列{a_n}中存在兩兩互異的正整數m、n、p同時滿足下列兩個條件：①m+p=2n；②，求數列的通項a_n；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數列{a_n}，設（n∈N^*），集合T_n={b_i•b_j|1≤i≤j≤n，i，j∈N^*}，記集合T_n中所有元素之和B_n，試問：是否存在正整數n和正整數k，使得不等式成立？若存在，請求出所有n和k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵等差數列，∴S₃=a₁+a₂+a₃=3a₂，
又∵，∴，
∵S₁=a₁=1，∴，
∴，
∴a₂=3，則公差d=2，S₅=25．
（Ⅱ）∵等差數列{a_n}，∴設，
∵，
∴，
即=A（m+p）²+2B（m+p），
∴，
兩邊平方得，4（Am²+Bm）（Ap²+Bp）=4A²m²p²+4ABmp（m+p）+B²（m+p）²，
∴4B²mp=B²（m+p）²，
即B²（m-p）²=0，∵m≠p，∴B=0，又a₁=S₁=1，∴A=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，a₁=1適合，∴a_n=2n-1．
（Ⅲ），
則，
∴．
∵，，
∵，
∴b_n+1B_n+1-b_nB_n＜0，∴數列{b_nB_n}是遞減數列，
由已知不等式得，，∵b_n+1B_n+1-b_nB_n＜0，
∴b_n+1B_n+1＜k＜b_nB_n．
又，，，∴當n≥3時，b_nB_n＜1，
∴當n=1時，k=2或3；當n=2時，k=1，
故存在正整數n、k使不等式成立，所有n和k的值為：n=1，k=2或3；n=2，k=1．
分析：（Ⅰ）由等差數列性質，知S₃=a₁+a₂+a₃=3a₂，由和首項a₁=1，得，由此能求出S₅．
（Ⅱ）設，由，導出，由此入手，能夠求出a_n．
（Ⅲ）由，知．由此入手，能夠推導出存在正整數n、k使不等式成立，并能求出所有n和k的值．
點評：本題考查數列的前n項和、數列的通項公式的求法．綜合性強，難度大，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．