Question

命題p：關于x的方程x-

1

x

+a=0在x∈（0，1）沒有實數根，命題q：f（x）=

(3-a)x-4a，x＜1 logax，x≥1

是（-∞，+∞）上的增函數，如果￢p∨q為真命題，￢p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意，先對兩個命題進行化簡，然后再根據題設中￢p∨q為真命題，￢p∧q為假命題得出￢p與q一真一假，從而分類討論解出a的取值范圍即可

解答：解：由原方程得a=

1

x

-x，此函數在x∈（0，1）是減函數，所以

1

x

-x＞0，欲使方程x-

1

x

+a=0在x∈（0，1）沒有實數根，只需要a≤0即可，所以命題p：a≤0
由于f（x）=

(3-a)x-4a，x＜1 logax，x≥1

是（-∞，+∞）上的增函數，故有

a＞1 3-a＞0 3-5a≤0

，解之得

3

5

≤a＜3，即命題q：

3

5

≤a＜3
因為￢p∨q為真命題，￢p∧q為假命題，故￢p與q一真一假，
若￢p真q假時，則有0＜a＜

3

5

或a≥3；若￢p假q真時，則有a∈∅
綜上知，實數a的取值范圍為0＜a＜

3

5

或a≥3

點評：本題考查復合命題的真假判斷，此類題涉及到的知識點較多，知識性強，解題的關鍵是熟練掌握相關知識，且能根據正確轉化命題