Question

已知函數
（Ⅰ）求函數的最大值；
（Ⅱ）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）若，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）0（Ⅱ）（Ⅲ）當時，不等式等價于．ln>令，設，則′(t)=>0
在上單調遞增，

試題分析：（Ⅰ），則．
當時，，則在上單調遞增；
當時，，則在上單調遞減，
所以，在處取得最大值，且最大值為0．                       4分
（Ⅱ）由條件得在上恒成立．
設，則．
當 x∈(0,e)時，；當時，，所以，．
要使恒成立，必須．
另一方面，當時，，要使恒成立，必須．
所以，滿足條件的的取值范圍是．                          8分
（Ⅲ）當時，不等式等價于．ln>
令，設，則′(t)=>0，
在上單調遞增，，
所以，原不等式成立．                                    12分
點評：第一問通過函數導數求得單調區間極值進而得到最值，第二問中不等式恒成立求參數范圍的題目常采用分離參數法，轉化為求函數最值問題，第三問證明不等式要構造函數通過求解函數最值證明不等式，有一定的難度