Question

（2013•揭陽二模）設函數fn(x)=xn(1-x)2在[

1

2

，1]上的最大值為a_n（n=1，2，…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對任意n∈N^*（n≥2），都有an≤

1

(n+2)2

成立．

Answer 1

分析：（1）解法一：通過函數的導數，判斷函數的單調性，求出最大值即可求a₁，a₂的值；
解法二：利用函數的導數，求出函數的最值，推出a₁，a₂的值．
（2）利用（1）解法求出n≥3時函數的最大值，即可求數列{a_n}的通項公式；
（3）利用分析法以及二項式定理直接證明：對任意n∈N^*（n≥2），都有an≤

1

(n+2)2

成立．

解答：解：（1）解法1：∵fn′(x)=nxn-1(1-x)2-2xn(1-x)=xn-1(1-x)[n(1-x)-2x]-------（1分）
當n=1時，f₁'（x）=（1-x）（1-3x）
當x∈[

1

2

，1]時，f₁'（x）≤0，即函數f₁（x）在[

1

2

，1]上單調遞減，
∴a1=f1(

1

2

)=

1

8

，--------------------------------------------------（3分）
當n=2時，f₂'（x）=2x（1-x）（1-2x）
當x∈[

1

2

，1]時，f₂'（x）≤0，即函數f₂（x）在[

1

2

，1]上單調遞減，
∴a2=f2(

1

2

)=

1

16

---------------------------------------------------（5分）
【解法2：當n=1時，f1(x)=x(1-x)2，則f1′(x)=(1-x)2-2x(1-x)=(1-x)(1-3x)
當x∈[

1

2

，1]時，f₁'（x）≤0，即函數f₁（x）在[

1

2

，1]上單調遞減，∴a1=f1(

1

2

)=

1

8

，
當n=2時，f2(x)=x2(1-x)2，則f2′(x)=2x(1-x)2-2x2(1-x)=2x（1-x）（1-2x）
當x∈[

1

2

，1]時，f₂'（x）≤0，即函數f₂（x）在[

1

2

，1]上單調遞減，∴a2=f2(

1

2

)=

1

16

】
（2）令f_n'（x）=0得x=1或x=

n

n+2

，
∵當n≥3時，

n

n+2

∈[

1

2

，1]且當x∈[

1

2

，

n

n+2

)時f_n'（x）＞0，
當x∈(

n

n+2

，1]時f_n'（x）＜0，-----------------（7分）
故f_n（x）在x=

n

n+2

處取得最大值，
即當n≥3時，an=fn(

n

n+2

)=(

n

n+2

)n(

2

n+2

)2=

4nn

(n+2)n+2

，-------（9分）
當n=2時（*）仍然成立，
綜上得an=

1 8 ，n=1 4nn (n+2)n+2 ．，n≥2

-------------------------------------（10分）
（3）當n≥2時，要證

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，只需證明(1+

2

n

)n≥4，-------------------（11分）
∵(1+

2

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

2

n

)+…+

C

n n

(

2

n

)n≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

≥1+2+1=4
∴對任意n∈N^*（n≥2），都有an≤

1

(n+2)2

成立．-----------------（14分）

點評：本題考查數列與函數的導數的應用，考查分析問題解決問題的能力，數列通項公式的求法，二項式定理的應用，考查計算能力轉化思想的應用．