Question

（2012•開封一模）已知函數h（x）=ln（ax+b）在點M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

，求函數f（x）的單調區間．
（Ⅲ）求m的取值范圍，使不等式(1+

1

n

)n+m≤e對任意的n∈N^*都成立（其中e是自然對數的底數）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，根據函數h（x）=ln（ax+b）在點M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0，h（1）=ln2，即可
求a，b的值；
（Ⅱ）求導函數f′（x）=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，設g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，則φ′（x）=

-2x

1+x

，可得φ（x）在x=0處取得極大值，從而可得函數g（x）在（-1，+∞）上為減函數，于是當-1＜x＜0時，g（x）＞g（0）=0，當x＞0時，g（x）＜g（0）=0，由此可得函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）不等式(1+

1

n

)n+m≤e等價于（n+m）ln（1+

1

n

)≤≤1，分離參數可得m≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，設G（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈(0，1]，利用導數法可求G（x）在（0，1]上的最小值，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得h′(x)=

a

b+ax

∵函數h（x）=ln（ax+b）在點M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0
∴

a

b+a

=

1

2

∵h（1）=ln2
∴ln（a+b）=ln2
∴a=1，b=1；
（Ⅱ）若f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

，定義域為（-1，+∞）
f′（x）=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

設g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，則φ′（x）=

-2x

1+x

當-1＜x＜0時，φ′（x）＞0，φ（x）在（-1，0）上為增函數；當x＞0時，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，+∞）上為減函數
∴φ（x）在x=0處取得極大值，而φ（0）=0，所以g′（x）＜0（x≠0）
∴函數g（x）在（-1，+∞）上為減函數
于是當-1＜x＜0時，g（x）＞g（0）=0，當x＞0時，g（x）＜g（0）=0
∴當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上為增函數，當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上為減函數
∴函數f（x）的單調增區間為（-1，0），單調減區間為（0，+∞）．
（Ⅲ）不等式(1+

1

n

)n+m≤e等價于（n+m）ln（1+

1

n

)≤≤1，由1+

1

n

＞1，知m≤

1

ln(1+ 1 n )

-n
設G（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈(0，1]，則G′（x）=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

∵ln²（1+x）-

x2

1+x

≤0，∴（1+x）ln²（1+x）-x²≤0
∴G′（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上為減函數
∴G（x）在（0，1]上的最小值為G（1）=

1

ln2

-1
∴m的取值范圍為（-∞，

1

ln2

-1]．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是求導函數，確定函數的單調性與最值．