Question

設函數f（x）=2sin（ωx+）+k（0＜ω＜π），將f（x）的圖象按=（，-1）平移后得一奇函數，
（Ⅰ）求當x∈[0，2]時函數y=f（x）的值域
（Ⅱ）設數列{a_n}的通項公式為a_n=f（n）（n∈N⁺），S_n為其前N項的和，求S₂₀₁₀的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，設函數f（x）=2sin（ωx+）+k（0＜ω＜π），將f（x）的圖象按=（，-1）平移后，得到函數g（x），則
∵g（x）為奇函數
∴所以k=1，，∴
∵0＜ω＜π，∴
∴f（x）=2sin（x+）+1┅┅┅┅┅（3分）
∵x∈[0，2]，∴
∴sin（x+）
∴f（x）∈[0，3]┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）∵a_n=f（n），∴a_n=2sin（n+）+1，T=4
∴┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）
∴S₂₀₁₀=502（+a₁+a₂=2009+┅┅┅（12分）
分析：（Ⅰ）根據將f（x）的圖象按=（，-1）平移，可得到平移后的函數，利用g（x）為奇函數，可得k=1，，結合0＜ω＜π，即可求得函數f（x）的解析式，進而整體思維，由x∈[0，2]，確定，從而可求當x∈[0，2]時函數y=f（x）的值域；
（Ⅱ）由a_n=f（n），可得a_n=2sin（n+）+1，數列的周期為4，根據S₂₀₁₀=502（+a₁+a₂，可得結論．
點評：本題以向量的平移為載體，考查數列與三角函數的結合，考查三角函數的性質，同時考查了三角函數的值域，綜合性強．