Question

【題目】設，其中.

（1）當q=1時，化簡：；

（2）當q=n時，記，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1） (2) 當n=1，2時，；當時，

【解析】

(1) 當q=1時，,從而得到結果；

(2) 當q=n時，由二項式定理可得，猜想、歸納，用數學歸納法加以證明即可.

（1）當q=1時，，

由于

，

其中.

所以原式

（2）【解法一】當q=n時，，

所以，所以，

令x=1，得，

當n=1，2時，；當時，，即.

下面先用數學歸納法證明：當時，，……（☆）

①當n=3時，，（☆）式成立；

②設時，（☆）式成立，即，

則時，（☆）式右邊

.

這就是說，當，（☆）式也成立.

綜合①②知，當時，.

所以，當n=1，2時，；當時，

【解法二】

當q=n時，，

所以，所以，

令x=1，得，.

要比較與的大小，即可比較與的大小，

設，則，

由，得，所以在上遞增，

由，得，所以在上遞減，

所以當n=1，2時，，

當時，，即，

即，即，

綜上所述，當n=1，2時，；當時，.

【解法三】

當q=n時，，

所以，所以，

令x=1，得，

當n=1，2時，；當時，.

下面用數學歸納法證明：，，，……（*）

①當n=3時，，因為，所以（*）式成立；

②設時，（*）式成立，即有，

所以（因為）.

又因為，即，

所以，

即，所以，當時，（*）式也成立.

綜合①②，對任何，都成立.

所以，當n=1，2時，；當時，.