Question

已知函數f（x）=lg|x-1|，下列命題中所有正確的序號是    ．
（1）函數f（x）的定義域和值域均為R；
（2）函數f（x）在（-∞，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增；
（3）函數f（x）的圖象關于y軸對稱；
（4）函數f（x+1）為偶函數；
（5）若f（a）＞0則a＜0或a＞2．

Answer 1

【答案】分析：由函數f（x）=lg|x-1|求得定義域為{x|x≠1}≠R，故（1）不正確． 根據復合函數的單調性可得（2）正確．
由于函數f（x）的 定義域不關于原點對稱，故函數f（x）不具有奇偶性．由于函數f（x+1）=lg|x|，是偶函數，故（4）正確．由f（a）＞0，可得|a-1|＞1，解得a＜0或a＞2，故（5）正確．
解答：解：∵函數f（x）=lg|x-1|，故有x-1≠0，x≠1，故定義域為{x|x≠1}≠R，故（1）不正確．
由函數y=|x-1|在（-∞，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，可得
函數f（x）=lg|x-1|在（-∞，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，故（2）正確．
由于函數f（x）的 定義域不關于原點對稱，故函數f（x）不具有奇偶性，故（3）不正確．
由于函數f（x+1）=lg|x|，其圖象關于y軸對稱，故是偶函數，故（4）正確．
由f（a）＞0，則有lg|a-1|＞0，故|a-1|＞1，
∴a-1＞1 或a-1＜-1，
∴a＜0或a＞2，故（5）正確，
故答案為（2）（4）（5）．
點評：本題主要考查對數函數的定義域、單調性和特殊點，對數函數的圖象和性質，屬于中檔題．