Question

設
（Ⅰ）判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得關于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，試說明理由；
（Ⅲ）求證：（其中e為自然對數的底數）．

Answer 1

證明：（1）∵
∴，
設．
∴，
∴y=g（x）在[0，+∞）上為減函數．
∴，
∴，
∴函數在（0，+∞）上為減函數．
（2）ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，?ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，
設h（x）=ln（1+x）-ax，則h（0）=0，
∴，
若a≥1，則x∈[0，+∞）時，恒成立，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上為減函數
∴ln（1+x）-ax＜h（0）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
若a≤0顯然不滿足條件，
若0＜a＜1，則時，，
∴時h'（x）≥0，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在上為增函數，
當時，h（x）=ln（1+x）-ax＞0，
不能使ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥1
（3）由（2）可知在（0，+∞）上恒成立，
∴，即，
取，即可證得對一切正整數n成立．
分析：（1）已知f（x），構造新的函數g（x），利用導數求函數單調的方法步驟；
（2）將ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立等價于ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，構造新的函數h（x）=ln（1+x）-ax，x∈[0，+∞），依題意，我們所要求的a的取值范圍，需要滿足以下條件：能夠使得h（x）在[0，+∞）上單調遞減．
（3）由（2）可知在（0，+∞）上恒成立，可以得到＜e，只需令=n，即可．
點評：本題綜合性較強，主要考查利用導數研究函數的單調性，以此為主線，貫穿其中．但對以上三個問題的解答，關鍵是構造函數，這是函數這一章節的重點和難點．