Question

（2007•南通模擬）如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于4×2×3的長方體框架（由24個棱長為1個單位長度的正方體框架組合而成），一建筑工人從A點沿腳手架到點B，每步走1個單位長度，且不連續向上攀登，則其行走的最近路線共有（　　）

A．150條

B．525條

C．840條

D．1260條

Answer 1

分析：首先分析題意，將原問題轉化為“走3次向上，4次向右，2次向前，且3次向上不連續”的排列、組合問題，再計算“4次向左和2次向前”的情況數目，進而用插空法將3次向上插到6次不向上之間的空當中7個位置中，由組合數公式可得其情況數目，再由分步計數原理計算可得答案．

解答：解：根據題意，最近路線，那就是不能走回頭路，不能走重復的路；
所以一共要走3次向上，4次向右，2次向前，一共9次；
因為不能連續向上，所以先把不向上的次數排列起來，也就是4次向左和2次向前全排列A₆⁶，
因為4次向左是沒有順序的，所以還要除以A₄⁴，
同理2次向前是沒有順序的，再除以以A₂²，
接下來，就是把3次向上插到6次不向上之間的空當中7個位置排三個元素，也就是C₇³，
則共有

A 6 6

A 4 4 • A 2 2

×C₇³=525種；
故選B．

點評：本題考查排列、組合的實際應用，解題的難點在于將原問題轉化為排列、組合問題，特別要注意題干中“不連續向上攀登”的限制．