Question

【題目】已知，設函數，

（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范圍；

（2）對任意恒成立時，的最大值為1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析: （2,）,對討論，分①當時， ②當時， ③當時， ④當時，求出單調區間，極值，進而確定最值，解不等式，即可得到t的范圍；

（2）運用參數分離，得對任意恒成立，令，，由于的最大值為1．則恒成立．
對二次求導，求出單調區間，求出極值和最值，判斷的單調性，即可得到的范圍．

試題解析:（1），

①當時，在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，

∴，由，得，在時無解，

②當時，不合題意；

③當時，在單調遞增，在遞減，在單調遞增，

∴即，∴，

④當時，在單調遞增，在單調遞減，滿足條件，

綜上所述：時，存在，使得是在上的最大值.

（2）對任意恒成立，

即對任意恒成立，

令，，

根據題意，可以知道的最大值為1，

則恒成立，

由于，則，當時，，

設則，

，得，，

則在上遞減，在上遞增，則，

∴在上是增函數.

∴，滿足條件，∴的取值范圍是.