Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，，，M是以CD為直徑的半圓周上的任意一點（與C，D均不重合），且平面平面ABCD.

（1）求證：平面平面BCM；

（2）當四棱錐的體積最大時，求AM與CD所成的角.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）只證明CM⊥平面ADM即可，即證明CM垂直于該平面內的兩條相交直線，或者使用面面垂直的性質，本題的條件是平面CDM⊥平面ABCD，而M是以CD為直徑的半圓周上一點，能夠得到CM⊥DM，由面面垂直的性質即可證明；（2）當四棱錐M一ABCD的體積最大時，M為半圓周中點處，可得角MAB就是AM與CD所成的角，利用已知即可求解．

（1）證明：CD為直徑，所以CMDM ，

已知平面CDM平面ABCD， ADCD，

AD平面CDM，所以ADCM 又DMAD=D

CM平面ADM 又CM平面BCM，

平面ADM平面BCM ，

（2）

當M為半圓弧CD的中點時，四棱錐的體積最大，

此時，過點M作MOCD于點E,

平面CDM平面ABCD

MO平面ABCD，即MO為四棱錐的高又底面ABCD面積為定值2，

AM與CD所成的角即AM與AB所成的角，

求得為正三角形，

，故AM與CD所成的角為