Question

已知函數的定義域是，是的導函數，且在
內恒成立．
求函數的單調區間；
若，求的取值范圍；
(3) 設是的零點，，求證：.

Answer 1

(1);(2) ;(3)詳見解析.

試題分析：（1）利用求導的思路求解函數的單調區間，從分借助；（2）首先對求導，然后借助已知的不等式恒成立進行轉化為在內恒成立，進而采用構造函數的技巧，，通過求導研究其最大值，從而得到的取值范圍；（3）借助第一問結論，得到，然后通過變形和構造的思路去證明不等式成立.
試題解析：（1），∵在內恒成立
∴在內恒成立，
∴的單調區間為                                     4分
（2），∵在內恒成立
∴在內恒成立，即在內恒成立，
設，
，，，，
故函數在內單調遞增，在內單調遞減，
∴，∴                    8分
（3）∵是的零點，∴由（1），在內單調遞增，
∴當時，，即，
∴時，∵，∴，
且即
∴，
∴                                                  14分