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已知向量
m
=（2sinx，2cosx），
n
=（
3
cosx，cosx），f（x）=
m
•
n
-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標先縮短到原來的
1
2
，把所得到的圖象再向左平移
π
6
單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區間[0，
π
8
]上的最小值．
分析：（1）由向量的數量積的坐標表示及二倍角公式、輔助角公式可得f（x）=2sin（2x+
π
6
），根據周期公式可求T；再由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可求f（x）的單調遞增區間
（2）根據函數的變換可得g（x）=2sin（4x+
5π
6
），由x∈[0，
π
8
]，可求4x+
5π
6
∈[
5π
6
，
4π
3
]．結合正弦函數的性質可求函數的 最小值
解答：解：（1）因為f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1
=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+
π
6
）（3分）
∴函數f（x）的最小正周期為T=π、…（4分）
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2

得f（x）的單調遞增區間為[kπ-
1
3
π，kπ+
π
6
]，k∈Z（6分）
（2）根據條件得g（x）=2sin（4x+
5π
6
）…（8分）
當x∈[0，
π
8
]時，4x+
5π
6
∈[
5π
6
，
4π
3
]，…（10分）
所以當x=
π
8
時，g(x)min=-
3
、…（12分）
點評：本題主要考查了平面向量的數量積的坐標表示及三角函數的二倍角、輔助角公式的綜合應用，正弦函數的性質的綜合應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

請選做一題，都做時按先做的題判分，都做不加分．
（1）已知向量
m
=（2sinx，cosx-sinx），
n
=(
3
cosx，cosx+sinx)，函數f（x）=
m
•
n
．
①求函數f（x）的最小正周期和值域；
②在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若f(
A
2
)=2且a2=bc，試判斷△ABC的形狀．
（2）已知銳角△ABC，sin（A+B）=
3
5
，sin(A-B)=
1
5
．
①求證：tanA=2tanB；
②設AB=3，求AB邊上的高CD的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（2sinx，1），
n
=（
3
cosx，2cos2x），函數f（x）=
m
•
n
-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0 在x∈[0，
π
2
]上有解，求t 的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC 中，a，b，c分別是A，B，C 所對的邊，當t=3 且f（A）=-1，b+c=2 時，求a 的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（2sinx，cosx），
n
=（
3
cosx，2cosx），定義函數f（x）=m•n-1
（1）求f（x）的最小正周期
（2）求f（x）的單調遞增區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•浙江模擬）已知向量
m
=（2sinx，1），
n
=（
3
cosx，2cos2x），函數f（x）=
m
•
n
-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，
π
2
]上有解，求t的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對的邊，當（Ⅰ）中的t取最大值且f（A）=-1，b+c=2時，求a的最小值．

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