Question

（本題滿分16分）已知函數在點處的切線方程為．

⑴求函數的解析式；

⑵若對于區間上任意兩個自變量的值都有，求實數的最小值；

⑶若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

⑴． ⑵的最小值為4．⑶．

【解析】(1)求導，根據建立關于a,b的方程，求解即可。

(2) 本題實質是對于區間上任意兩個自變量的值，都有

,然后利用導數求f(x)的最值即可。

(3) 因為點不在曲線上，所以可設切點為．

則．因為，所以切線的斜率為．則=，

即．從而轉化為方程有三個不同的實數解，

構造函數,證明它有三個不同的零點即可。

解：⑴．…………………………………………………………1分

根據題意，得即解得……………………3分

所以．………………………………………………………………4分

⑵令，即．得．

					1		2
		+				+
		↗	極大值	↘	極小值	↗	2

因為，，

所以當時，，．………………………………6分

則對于區間上任意兩個自變量的值，都有

，所以．

所以的最小值為4．……………………………………………………………………8分

⑶因為點不在曲線上，所以可設切點為．

則．

因為，所以切線的斜率為．………………………………9分

則=，………………………………………………………………11分

即．

因為過點可作曲線的三條切線，

所以方程有三個不同的實數解．

所以函數有三個不同的零點．

則．令，則或．

		0		2
	+				+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

則 ，即，解得．…………………………………16分

（注：此題其它解法正確也給分）