Question

(1)已知,求證：;
(2)已知，>0(i=1,2,3,…,3ⁿ)，求證：
+++…+

Answer 1

(1)利用函數的單調性，alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1當a=b=c=時等號成立。
(2)證明：數學歸納法

試題分析：(1)證明： a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，
alog₃a+blog₃b+clog₃c= alog₃a+blog₃b+(1-a-b) log₃(1-a-b)="f(a)"
那么f ′ (a)= log₃a-log₃(1-a-b)，當a∈(0，)時f ′ (a)<0，當a∈(，1)時f ′ (a)>0，
f(a)在(0，]上遞減，在[，1) 上遞增；
f(a)≥f()="(1-b)" log₃+ blog₃b，記g(b)=" (1-b)" log₃+ blog₃b， 3分
得：g′(b)= log₃b-log₃，當b∈(0，)時g′(b) <0，當b∈(，1)時，g′(b) >0，
 g(b)在(0，)遞減，在(，1)上遞增； g(b)≥g()=-1。
alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1當a=b=c=時等號成立。5分
(2)證明：n=1時，++=1，>0(i=1,2,3)，由(1)知
++≥-1成立，即n=1時，結論成立。
設n=k時結論成立，即++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3^k)時
+++…+≥-k.
那么，n=k+1時,若++…+++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3^k+1)時，
令+…+=t，則++…+=1，由歸納假設：
++…+≥-k. 8分
 +++…+-(1-t) (1-t) ≥-k(1-t).
+++…+≥-k(1-t)+ (1-t) (1-t)…(1)
設+…+=s，則+…+=t-s，++…+=1，
由歸納假設：++…+≥-k.
++…+≥-k(t-s)+ (t-s)(t-s)
………(2) 10分
+…+=s，++…+=1；由歸納假設同理可得：
++…+ ≥-ks+ ss ……(3) 
將(1) 、(2)、(3)兩邊分別相加得：
++…++…++…+
≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss 
而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)>0，(t-s) >0，s >0。 (1-t)(1-t)+ (t-s) (t-s) + ss≥-1。
-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss≥-k-1=-(k+1)。
++…++…+≥-(k+1)。
n=k+1時，題設結論成立。綜上所述，題設結論得證。 13分
點評：難題，利用已知a，b，c的關系，首先確定得到函數f(a)，從而利用導數研究函數的單調性，達到證明不等式的目的。（2）利用數學歸納法證明不等式，看似思路清晰，但在不等式變形過程中，困難重重。是一道比較難的題目。