Question

（本小題滿分14分）
已知函數在上有定義，對任意實數和任意實數，都有.
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）證明（其中k和h均為常數）；
（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設，討論在內的單調性.

Answer 1

（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）
（Ⅲ）在區間內單調遞減, 在區間（）內單調遞增.

本小題主要考查函數的概念、導數應用、函數的單調區間和極值等知識，考查運用數學知識解決問題及推理的能力。
（1）對于任意的a>0，，均有 ①在①中取
(2) 令時，∵，∴，則
而時，，則
而，   ∴，即成立
賦值法得到結論。
（3）由（Ⅱ）中的③知，當時，，
分析導數得到單調區間。
（Ⅰ）證明：對于任意的a>0，，均有 ①
在①中取
∴ ②
（Ⅱ）證法一：當時，由①得   
取，則有    ③
當時，由①得 
取，則有   ④
綜合②、③、④得;
證法二:
令時，∵，∴，則
而時，，則
而，   ∴，即成立
令，∵，∴，則
而時，，則
即成立。綜上知
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，當時，，
從而
又因為k>0，由此可得

	－	0	+
	↘	極小值2	↗

所以在區間內單調遞減，在區間（）內單調遞增。
解法2：由（Ⅱ）中的③知，當時，，
設   則

又因為k>0，所以
（i）當 ；
（ii）當
所以在區間內單調遞減, 在區間（）內單調遞增.