Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1⊥底面ABC，CA=CB，D，E，F分別為AB，A1D，A1C的中點，點G在AA1上，且A1D⊥EG．

（1）求證：CD∥平面EFG；
（2）求證：A1D⊥平面EFG．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E，F分別為A1D，A1C的中點，

∴EF∥CD，

∵CD平面EFG，EF平面EFG，

∴CD∥平面EFG

（2）證明：∵CA=CB，D為AB的中點，

∴CD⊥AB，

∵側面ABB1A1⊥底面ABC，側面ABB1A1∩底面ABC=AB，

∴CD⊥側面ABB1A1，

∴CD⊥A1D，

∵EF∥CD，

∴A1D⊥EF，

∵A1D⊥EG，EF∩EG=E，

∴A1D⊥平面EFG

【解析】（1）利用三角形的中位線的性質，證明EF∥CD，利用線面平行的判定定理證明：CD∥平面EFG；（2）利用等腰三角形三線合一證明CD⊥AB，利用平面與平面垂直的性質證明CD⊥A1D，利用線面垂直的判定定理證明：A1D⊥平面EFG．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．