Question

設實數x，y滿足條件：①x≥0，y≥0；②3x-y-6≤0；③x-y+2≥0，目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則

2

a

+

3

b

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：已知2a+3b=6，求 的最小值，可以作出不等式的平面區域，先用乘積進而用基本不等式解答．

解答：解：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分，
由ax+by=z（a＞0，b＞0），得y=-

a

b

x+

z

b

，
則y=-

a

b

x+

z

b

的斜率k=-

a

b

＜0，
平移直線得y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當直線得y=-

a

b

x+

z

b

經過點B時，直線的截距最大，
此時z最大，
由

x-y+2=0 3x-y-6=0

，解得

x=4 y=6

，
即直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點為B（4，6），
此時目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，
∴2a+3b=6，即

a

3

+

b

2

=1，
∴

2

a

+

3

b

=（

2

a

+

3

b

）（

a

3

+

b

2

）=

2

3

+

3

2

+

a

b

+

b

a

≥

15

6

+2

a b ? b a

=

15

6

+2=

25

6

，
當且僅當

b

a

=

a

b

即a=b時取等號，
∴

2

a

+

3

b

的最小值是

25

6

，
故答案為：

25

6

點評：本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題．要求能準確地畫出不等式表示的平面區域，并且能夠求得目標函數的最值．利用數形結合是解決本題的關鍵．