Question

若a＜0時，函數f（x）=sinx-

2

aex在（0，+∞）上有且只有一個零點，則a=

-

1

2e 5 4 π

．

Answer 1

分析：由題意知，在（0，+∞）上

2

a=

sinx

ex

只有一根，由a＜0，知只需求出x＞0時g（x）=

sinx

ex

的最小值，利用導數可求得g（x）的最小值．

解答：解：由題意知，f（x）=0在（0，+∞）上只有一個根，即

2

a=

sinx

ex

只有一根，
因為a＜0，所以只需求出x＞0時g（x）=

sinx

ex

的最小值，
g′（x）=

excosx-exsinx

e2x

=-

sin(x- π 4 )

ex

，
令g′（x）=0可得x=kπ+

π

4

，k∈N，
易知當x=

π

4

，

9

4

π，…時g（x）=

sinx

ex

取極大值，當x=

5

4

π，

13

4

π，…時取極小值，
又g（

5

4

π）＜g（

13

4

π）＜…，
所以g（x）_min=g（

5

4

π）=

sin 5 4 π

e 5 4 π

=-

2 2

e 5 4 π

，
則

2

a=-

2 2

e 5 4 π

，解得a=-

1

2e 5 4 π

，
故答案為：-

1

2e 5 4 π

．

點評：本題考查函數的零點、導數求函數的最值，考查轉化思想、函數思想，思維含量較高．