Question

【題目】如圖數表：

每一行都是首項為1的等差數列，第行的公差為，且每一列也是等差數列，設第行的第項為.

（1）證明：成等差數列，并用表示（）；

（2）當時，將數列分組如下：（），（），（），…（每組數的個數構成等差數列）. 設前組中所有數之和為，求數列的前項和；

（3）在（2）的條件下，設是不超過20的正整數，當時，求使得不等式恒成立的所有的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）（3）

【解析】

（1）根據前三行成等差數列得，根據最后一列成等差數列可得，把在第行和第列分別表示出來，可得出關于的表達式；

（2）根據分組的特點結合等差數列前和公式計算，利用錯位相減法計算；

（3）把代入不等式，得，引入函數，由函數的單調性可求得使不等式成立的的最小值即可得的取值．

解：(1) 由題意，，且，

得，即

所以成等差數列

由且

即

化簡得

(2) 當時，

按數列分組規律，第組中有個奇數，

所以第1組到第組共有個奇數.

則前個奇數的和為，

即，

從而 ，

，①則

，②

①-②得，

∴．

(3) 由得.

令，

當時，都有，即，

而，

且當時，

，即單調遞增，故有.

所以，滿足條件的所有正整數.