Question

已知，直線與函數的圖像都相切，且與函數的圖像的切點的橫坐標為1．  

（1）求直線的方程及的值；

（2）若（其中是的導函數），求函數的最大值；

（3）當時，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1），m=-2

（2）取得最大值

（3）由（Ⅱ）知：當時，，即，結合單調性來證明。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）依題意知：直線是函數在點處的切線，故其斜率

，所以直線的方程為．又因為直線與的圖像相切，所以由

，

得（不合題意，舍去）； .  4分

（Ⅱ）因為（），所以

．當時，；當時，．

因此，在上單調遞增，在上單調遞減．

因此，當時，取得最大值； .  8分

（Ⅲ）當時，．由（Ⅱ）知：當時，，即．因此，有． .  12分

考點：導數的運用

點評：主要是考查了函數的單調性以及不等式的運用，屬于基礎題。