Question

已知M (-3，0)﹑N (3，0)，P為坐標平面上的動點，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數m (m，m0)，點P的軌跡加上M、N兩點構成曲線C.

求曲線C的方程并討論曲線C的形狀；

(2) 若，曲線C過點Q (2，0) 斜率為的直線與曲線C交于不同的兩點A﹑B，AB中點為R，直線OR (O為坐標原點)的斜率為，求證 為定值；

(3) 在(2)的條件下，設，且，求在y軸上的截距的變化范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）

若m=-1，則方程為，軌跡為圓；

若，方程為，軌跡為橢圓；

若，方程為，軌跡為雙曲線

（2）

（3）

【解析】

試題分析：解：（1）由得點P的軌跡方程為：.

若m=-1，則方程為，軌跡為圓；

若，方程為，軌跡為橢圓；

若，方程為，軌跡為雙曲線。          4分

（2）時，曲線C方程為，

設的方程為：，與曲線C方程聯立得：，

設，則①，②，

可得，  ∴為定值。        7分

注：①可用點差法證明；②直接用得出結果的，本小題只給1分.

（3）由得代入①②得：③，④，

③式平方除以④式得：，

∵在上單調遞增，∴，∴，可得 

又∵在y軸上的截距，∴=，

∴，此即為在y軸上的截距的變化范圍。    10分

考點：直線與橢圓的位置關系

點評：解決的關鍵是根據直線與橢圓聯立方程組來結合韋達定理來求解，屬于中檔題。