Question

設橢圓C₁的方程為=1（a＞b＞0），曲線C₂的方程為y=，且C₁與C₂在第一象限內只有一個公共點P.

（Ⅰ）試用a表示點P的坐標.

（Ⅱ）設A、B是橢圓C₁的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數S（a）的值域；

（Ⅲ）設min｛y₁，y₂，…，y_n｝為y₁，y₂，…，y_n中最小的一個.設g（a）是以橢圓C₁的半焦距為邊長的正方形的面積，求函數f（a）=min｛g（a），S（a）｝的表達式.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：將y=代入橢圓方程，得， 化簡得  b2x4－a2b2x2+a2=0， 由條件，有Δ=a4b4－4a2b2=0 得ab=2 解得  （舍去） 故P的坐標為（）. （Ⅱ）解：∵在△ABP中，|AB|=2，高為， ∴S（a）= ∵a＞b＞0，b=，∴a＞， 即a＞，得0＜＜1，于是0＜S（a）＜ 故△ABP的面積函數S（a）的值域為（0，）. （Ⅲ）解：g（a）=c2=a2－b2=a2－， 解不等式：g（a）≥S（a）， 即a2－≥， 整理得：a8－10a4+24≥0， 即（a4－4）（a4－6）≥0， 即（a4－4）（a4－6）≥0 解得：a≤（舍去）或a≥， 故f（a）=min｛g（a），S（a）｝=