Question

【題目】設函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）設是否存在極值，若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由；

（3）當時．證明：．

Answer 1

【答案】（1）的單調增區間為，單調減區間為；（2）時，無極值，時，有極大值,無極小值；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）求出函數的導數，求得和的解集，即可求解函數的單調區間；（2）由題意得出的解析式，得出，按和兩種情況分類討論，即可得出的極大值與極小值；（3）設，轉化為證，只需證明，取出，得出的單調性，設的根為，此時，進而可得以證明．

試題解析：（1）（）．

令，即，得，故的增區間為；

令，即，得，故的減區間為；

∴的單調增區間為，的單調減區間為．

（2）（）

（）

當時，恒有∴在上為增函數，故在上無極值；

當時，令，得

，，單調遞增，，，單調遞減．

∴，無極小值；

綜上所述：時，無極值

時，有極大值,無極小值．

（3）證明：設（），則即證，只要證

∵，∴，

又在上單調遞增

∴方程有唯一的實根，且．

∵當時，．當時，

∴當時，

∵即，則 ∴

∴原命題得證