Question

【題目】已知函數f（x）=x3+m．
（1）試用定義證明：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（2）若關于x的不等式f（x）≥x3+3x2﹣3x在區間[1，2]上有解，求m的取值范圍．參考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）

Answer 1

【答案】
（1）證明：任取x1，x2，且0＜x1＜x2

則

因為0＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0， x∈

即f（x2）﹣f（x1）＞0

所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增

（2）解：不等式f（x）≥x3+3x2﹣3x在區間[1，2]上有解，即不等式m≥3x2﹣3x在區間[1，2]上有解，

即m不小于3x2﹣3x在區間[1，2]上的最小值因為[1，2]時， ，所以m的取值范圍是[0，+∞）．

【解析】1、由定義正明函數的增減性可得函數f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數。
2、由題意可得不等式f（x）≥x3+3x2﹣3x在區間[1，2]上有解，即不等式m≥3x2﹣3x在區間[1，2]上有解，即m不小于3x2﹣3x在區間[1，2]上的最小值因為[1，2]時， ∈ [ 0 ， 6 ] ，所以m的取范圍是[0，+∞）.
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．