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已知橢圓C：的左頂點為A，M、N是C上異于A的兩點，且。
（1）直線MN是否過定點？若過定點，求出此定點的坐標；
（2）求△AMN面積S的最大值。
解：（1）當直線MN的方程是y=h（h是常數）時，由點A是橢圓C的左頂點，知∠AMN＜90°，
而AM⊥AN，
所以可設MN：x=my+t（t≠-2），把它代入C的方程，得

又設M（x1，y1），N（x2，y2），得


由AM⊥AN，得

所以
MN：
得直線MN過定點。
（2）由
得

其中
下面求z的最小值
設得

因為當時，z是增函數，
所以當且僅當即m=0時，z取到最小值，
且最小值是，即當且僅當m=0時S取到最大值，且最大值是。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2012-2013學年福建省高三下學期第二次聯考文數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，△AF1F2為正三角形，且以線段F1F2為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；

（Ⅱ）若點P為焦點F1關于直線的對稱點，動點M滿足. 問是否存在一個定點T，使得動點M到定點T的距離為定值？若存在，求出定點T的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：2014屆福建省高二上學期期末考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）

已知橢圓C：的上頂點坐標為，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）設P為橢圓上一點，A為左頂點，F為橢圓的右焦點，求的取值范圍.

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年黑龍江省高三上學期期末考試數學文卷 題型：解答題

 

（本小題滿分12分）已知橢圓C：的左、右頂點的坐標分別為,，離心率。

（Ⅰ）求橢圓C的方程：

（Ⅱ）設橢圓的兩焦點分別為,，若直線與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上。

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年江蘇省天一中學、海門中學、鹽城中學聯考高三（下）2月調研數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F2，下頂點為A，點P是橢圓上任一點，⊙M是以PF2為直徑的圓．
（Ⅰ）當⊙M的面積為時，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當⊙M與直線AF1相切時，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個定圓相切．

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