Question

已知f（x）是定義在R的奇函數，且f(2x)=

a•4x-a2

4x+1

，（a≠0）．
（1）求f（x）的反函數f^-1（x），并求出定義域；
（2）設g(x)=log

2

k

k •(1-x)

，若不等式f^-1（x）≥g（x）的解集為非空數集，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先由換元法求出f（x）的解析式，由于函數是一個奇函數，可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求出參數，再求出反函數f^-1（x），及定義域；
（2）不等式f^-1（x）≥g（x）的解集為非空數集，

解答：解：（1）由題意f(2x)=

a•4x-a2

4x+1

，令t=2x，代入得f（t）=

a•2t-a2

2t+1

，即f（x）=

a•2x-a2

2x+1

又f（x）是定義在R的奇函數，
∴f（x）+f（-x）=0，即

a•2x-a2

2x+1

+

a•2-x-a2

2-x+1

=0解得a•2^x-a²+a-a²•2^x=0恒成立，故有a=a²，又 a≠0，可得a=1
∴f（x）=

2x-1

2x+1

，令y=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，解得x=log2

1+y

1-y

∴f^-1（x）=log2

1+x

1-x

，
由于y=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

∈（-1，1），故f^-1（x）=log2

1+x

1-x

的定義域是（-1，1），
（2）由題意得log2

1+x

1-x

≥log

2?

k?

k? •(1-x)

有解，即

1+x

1-x

≥

k

k•(1-x)2

有解
由（1）定義域是（-1，1），故可得1+x≥

1

1+x

解恒成立，與K的值無關
又

k?

k? •(1-x)

＞0，可知k＞0
綜上，符合條件的實數k的取值范圍是k＞0

點評：本題考查了反函數的求法，求外層函數的解析式及對數不等式有根的問題，綜合性強，熟練掌握對數的運算性質，反函數的求法是解本題的關鍵，本題的難點是解f^-1（x）的解析式，本題是一個能力型題，考查了轉化的思想，運算能力及推理判斷的能力