Question

【題目】已知函數f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4處取得極值．
（1）求常數k的值；
（2）求函數f（x）的單調區間與極值；
（3）設g（x）=f（x）+c，且x∈[﹣1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，由于在x=0，x=4處取得極值，

∴f'（0）=0，f'（4）=0，

可求得

（2）解：由（1）可知 ，f'（x）=x2﹣4x=x（x﹣4），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）		極大值		極小值

∴當x＜0或x＞4，f（x）為增函數，0≤x≤4，f（x）為減函數；

∴極大值為 ，極小值為

（3）解：要使命題成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1

由（2）得：

∴ ，

∴

【解析】（1）因為函數兩個極值點已知，令f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=0，把0和4代入求出k即可．（2）利用函數的導數確定函數的單調區間，f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=x2﹣4x=x（x﹣4）大于零和小于零分別求出遞增和遞減區間即可，把函數導數為0的x值代到f（x）中，通過表格，判斷極大、極小值即可．（3）要使命題成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1，由（2）得：g（﹣1）和g（2）其中較小的即為g（x）的最小值，列出不等關系即可求得c的取值范圍．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．