Question

【題目】斜率為 的直線l與橢圓 + =1（a＞b＞0）交于不同的兩點A、B．若點A、B在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點．
（1）求橢圓的離心率；
（2）P是橢圓上的動點，若△PAB面積最大值是4 ，求該橢圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：直線與橢圓兩交點的橫坐標為﹣c，c，縱坐標分別為﹣ ， ，

∴由 =

轉化為：2b2=2（a2﹣c2）= ac

即2e2+ e﹣2=0，

解得e= ，e=﹣ （負根舍去），

∴橢圓的離心率為e= ；

（2）解：∵P是橢圓上的動點，當△PAB的面積最大值是4 時，

有 |AB|h=4 ，

∵e= ，∴b=c，

∴a= c；

∴設橢圓的方程為 + =1，

則|AB|= c，

∴三角形PAB的高為h= ；

又直線為y= x，

即 x﹣2y=0；

則點P（ ccosθ，csinθ）到直線的距離表示為

d= = ≤ ，

令 = ，

解得c=2，

∴橢圓的方程為 + =1．

【解析】（1）畫出圖形，結合圖形，得出直線與橢圓兩交點坐標，根據兩點間的斜率公式，求出離心率e；（2）由（1）知，設出橢圓的標準方程 + =1，求出|AB|的值，利用三角形的面積求出高h；再求點P到直線的最大距離d，由此求出c即可．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．