Question

已知橢圓C：的離心率為，

直線：y=x+2與原點為圓心，以橢圓C的短軸長為直

徑的圓相切.

 (Ⅰ)求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于，兩點.設直線的斜率，在軸上是否存在點，使得是以GH為底邊的等腰三角形. 如果存在，求出實數的取值范圍，如果不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ).

（Ⅱ）存在滿足題意的點（m,0）且實數的取值范圍為：.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)利用離心率公式，得到，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，得到，得到，從而得到橢圓C的方程.（Ⅱ）通過假設的方程為（），與橢圓方程聯立，應用韋達定理確定交點坐標關系，利用“向量法”得到. 將表示成應用導數或均值定理確定的范圍.

試題解析：(Ⅰ)，       2分

∵直線：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，

∴，解得，則a²=4.     4分

故所求橢圓C的方程為.     5分

（Ⅱ）在軸上存在點，使得是以GH為底邊的等腰三角形.  6分

理由如下：

設的方程為（），

由

因為直線與橢圓C有兩個交點，所以

所以，又因為，所以.

設，，則.   7分

.

              =

.

由于等腰三角形中線與底邊互相垂直，則.      8分

所以.

故.

即

因為，所以.所以.

設，當時，，

所以函數在上單調遞增，所以

，         10分

 所以    11分

（若學生用基本不等式求解無證明扣1分）

又因為，所以.   所以，.

故存在滿足題意的點（m,0）且實數的取值范圍為：.     12分

考點：1、橢圓的幾何性質，2、直線與橢圓的位置關系，3、平面向量的坐標運算.